14.施密特正交化
14.1 规范正交化
14.1.1 规范正交化的定义
\[设：存在向量空间V(V \subset R^n)
\]
\[n维向量A=(a_1,a_2,a_3,...,a_n)是V中的一个基
\]
\[若：V中存在一个规范正交基E=(e_1,e_2,e_3...,e_n)，使A与E等价
\]
\[则：称A可\textbf{规范正交化}为E
\]
14.1.2 规范正交化的过程
设：存在向量空间\(V(V \subset R^n)\)
n维向量\(A=(a_1,a_2,a_3,...,a_n)\)是V中的一个基
n维向量\(B=(b_1,b_2,b_3,...,b_n)\)是\(V\)中的一个基，\(B\)中元素两两正交，且\(A\)等价于\(B\)
n维向量\(E=(e_1,e_2,e_3,...e_n)\)是n维向量\(B\)单位化以后得到的规范正交基
则B与A满足以下关系：
\[b_1=a_1，
b_2=a_2-b_1 \cdot \frac{[b_1,a_2]}{[b_1,b_1]}
\]
\[b_3=a_3-b_1 \cdot \frac{[b_1,a_3]}{[b_1,b_1]}-b_2\cdot\frac{[b_2,a_3]}{[b_2,b_2]} \newline
\]
\[......
\]
\[\tag{1}
b_n=a_n-b_1 \cdot \frac{[b_1,a_n]}{[b_1,b_1]}-b_2\cdot\frac{[b_2,a_n]}{[b_2,b_2]}-...b_{n-1}\cdot\frac{[b_{n-1},a_n]}{[b_{n-1},b_{n-1}]}
\]
E与B满足以下关系：
\[e_1=\frac{b_1}{||b_1||} ，
e_2=\frac{b_2}{||b_2||}
\]
\[......
\]
\[\tag{2}
e_n=\frac{b_n}{||b_n||}
\]
14.1.3规范正交化示例
设向量空间\(V\)中存在向量\(A=(a_1,a_2,a_3)\)，且：
\[a_1=
\begin{bmatrix}
1\\
2\\
-1
\end{bmatrix}，
a_2=
\begin{bmatrix}
-1\\
3\\
1
\end{bmatrix}，
a_3=
\begin{bmatrix}
4\\
-1\\
0
\end{bmatrix}
\]
则对向量A进行规范正交化的过程如下：
设\(V\)中存在向量\(B\)，\(B\)中元素两两正交，且\(B\)等价于\(A\)，则有：
\[b_1=a_1=
\begin{bmatrix}
1\\
2\\
-1
\end{bmatrix}
\]
\[b_2=a_2-b_1\cdot \frac{[b_1,a_2]}{[b_1,b_1]}
\]
\[\qquad\,\,\,
=
\begin{bmatrix}
-1\\
3\\
1
\end{bmatrix}-
\begin{bmatrix}
1\\
2\\
-1
\end{bmatrix}\cdot
\frac{4}{6}
\]
\[\qquad\quad
=
\begin{bmatrix}
-\frac{10}{6}\\
\frac{10}{6}\\
\frac{10}{6}
\end{bmatrix}
=
\frac{5}{3}\cdot
\begin{bmatrix}
-1\\
1\\
1
\end{bmatrix}
\]
\[b_3=a_3-b_1\cdot \frac{[b_1,a_3]}{[b_1,b_1]} - b_2\cdot \frac{[b_2,a_3]}{[b_2,b_2]}
\]
\[\qquad\qquad\quad\quad\,\,\,
=
\begin{bmatrix}
4\\
-1\\
0
\end{bmatrix}
-
\begin{bmatrix}
1\\
2\\
-1
\end{bmatrix}\cdot \frac{1}{3}
-
\frac{5}{3}\cdot
\begin{bmatrix}
-1\\
1\\
1
\end{bmatrix}
\cdot -\frac{25}{3} \cdot \frac{9}{75}
\]
\[\quad
=
\begin{bmatrix}
\frac{11}{3}\\
-\frac{5}{3}\\
\frac{1}{3}
\end{bmatrix}
+
\frac{5}{3}\cdot
\begin{bmatrix}
-1\\
1\\
1
\end{bmatrix}
=
2\cdot
\begin{bmatrix}
1\\
0\\
1
\end{bmatrix}
\]
向量B规范正交化为向量\(E=(e_1,e_2,e_3,...e_n)\)，得：
\[e_1=\frac{b_1}{||b_1||}=
a_1=
\begin{bmatrix}
1\\
2\\
-1
\end{bmatrix}
\cdot \frac{1}{\sqrt{6}}
\]
\[e_2=\frac{b_2}{||b_2||}=
\frac{5}{3}\cdot
\begin{bmatrix}
-1\\
1\\
1
\end{bmatrix}
\cdot
\sqrt{\frac{9}{75}}
=
\begin{bmatrix}
-1\\
1\\
1
\end{bmatrix}
\cdot
\sqrt{\frac{1}{3}}
\]
\[e_3=\frac{b_3}{||b_3||}
=
2\cdot
\begin{bmatrix}
1\\
0\\
1
\end{bmatrix}
\cdot \sqrt{\frac{1}{8}}
=
\begin{bmatrix}
1\\
0\\
1
\end{bmatrix}\cdot \sqrt{\frac{1}{2}}
\]
14.2 正交阵
14.2.1 正交阵的定义
设存在n阶矩阵A，且A满足：
\[\tag{3}
A^T \cdot A = E
\]
则称A为\(正交阵\)
14.2.2 正交阵与规范正交基
设空间\(V(V \subset R^n)\)上存在某正交阵的行向量\(A=(a_1,a_2,a_3,...,a_n)\)
则有：
\[A \cdot A^T =
\begin{bmatrix}
a_1{a_1}^T&a_1{a_2}^T&...&a_1{a_n}^T\\
a_2{a_1}^T&a_2{a_2}^T&...&a_2{a_n}^T\\
&&...\\
a_n{a_1}^T&a_n{a_2}^T&...&a_n{a_n}^T
\end{bmatrix}
=
E
\]
由单位矩阵性质可知：
\[a_i{a_i}^T=1 （i=1,2,3,...,n）\Rightarrow a_i 是单位向量
\]
\[a_i{a_j}^T=0（i\neq j）\Rightarrow a_i与a_j正交
\]
则由规范正交基性质可知：
行向量A即为V的一个规范正交基（列向量同理，证明过程略），可得：
\[若存在空间V(V \subset R^n)，则：
\]
\[\tag{4}
n阶正交阵的行向量或列向量可构成V上的一个规范正交基
\]